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勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

2020-4-20 15:16| 发布者: admin| 查看: 384| 评论: 0

1、)如图所示,在一段楼梯上铺地毯,若BC=3m,斜边AC=5m,则至少需要地毯_______.

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

解析:由勾股定理得AB=4m,地毯长度=AB+BC=7m

分析:如下图,铺地毯时沿着锯齿形台阶铺(红线部分),将所有竖直线段相加得AD=BC,将所有水平线段相加得DC=AB,故地毯总长为AB+BC=7m.

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

 

2、☆☆)如图,在直线l上依次摆放着7个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为123,正放置的四个正方形的面积依次为S1S2S3S4,则S1+S4=______.

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

解析:S1+S4=S1+S2+S3+S4-(S2+S3)=1+3-2=2

分析:在此类面积转化题型中,需灵活运用勾股定理的几何意义(如图所示:S1+S2=S3),故须将所求面积分类,此题中S1+S2=1S2+S3=2S3+S4=3,要求S1+S4,无法直接相加,只能用前三个等式进行代换得出结果.

 

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

3、☆☆)在RtABC中,C=90°AC+BC=15AB=11,则RtABC的面积为________.

解析:SABC=1/2AC·BC=1/4[(AC+BC)2-(AC2+BC2)]=1/4(152-112)=26

分析:为了表示方便,令BC=aAC=bAB=c,则a+b=15①c=11,由勾股定理:c2=a2+b2=121②,且所求面积SABC=1/2ab,用①②两式进行知二求二代换:2ab=(a+b)2-(a2+b2)=104,则SABC=1/2ab=1/4×104=26.

 

4、☆☆☆)如图,在ABC中,AB=4AC=3DEBC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点EAFBC于点F.

(1)BAC=90°,求AE的长;

(2)DF=0.7,求证:ABC为直角三角形.

 

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

解析:(1)如图1,连接CE,设AE=x,由DE垂直平分BC,则CE=BE=4-x,在RtACE中运用勾股定理得9+x2=(4-x)2,解得x=7/8,故AE长为7/8.

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

分析:要求AE的长,需结合条件BAC=90°构造Rt运用勾股定理,即连接CE构造RtACE,此时只知一边AC的长,另两边均无法用已知条件表示,条件不够,x来凑,设AEx,则由垂直平分线的对称性有CE=BE=4-x,表示出三边后,建立勾股定理方程求解即可.


解析:2)如图2,设CF=x,则CD=x+0.7,由DE垂直平分BC,则BD=CD=x+0.7,进而有BF=x+1.4,在RtABFRtACF中分别运用勾股定理得(x+1.4)2+AF2=16①x2+AF2=9②,将①②两式相减得(x+1.4)2-x2=7,解得x=1.8,故BC=2x+1.4=5,即满足AB2+AC2=BC2,由勾股逆定理得ABC为直角三角形.

勾股定理|一元二次方程常见的类型及解题方法

分析:证明直角三角形,应用勾股逆定理,需先求出三边长度,即需求出BC的长(至少将其表示出来),联系条件DF=0.7,想到用垂直平分线的对称性去转化,同样条件不够,x来凑,设CFx,可表示出BC=x+1.4,此时需构建方程求出x,联系已知边AB=4AC=3,应在RtABFRtACF中构建勾股方程,抵消AF2之后,解出x,得BC长度,再用勾股逆定理证明即可.


1、已知a是方程x2-x-1=0的一个根,求a3-2a+2015的值.

解析:

a为根,代入方程:a2-a-1=0

求高次,降次代换式:a2=a+1

逐项代换:a3-2a+2015=a(a+1)-2a+2015=a2-a+2015=a+1-a+2015=2016

 

2、已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为1,且满足b=√(a-2)+√(2-a)+3,求方程1/4y2+c=0的根.

解析:

①1为根,代入方程:a+b+c=0

b=√(a-2)+√(2-a)+3,根号内互为相反数,则a=2b=3,代入c=-5

解方程1/4y2-5=0,即y2=20,解得y1=2√5y2=-2√5

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